円周率3.14の謎を解明？ 円の面積公式の真実とは【眠れなくなるほど面白い 図解 大人のための算数と数学】

円の面積はなぜ半径×半径×3.14で求められるの？

円をおうぎ形に分解してその面積を求めてみる

【図A】は中心0とする直径10cmの円です。円周を調べようと思ったら、細いひもを周囲に這（は）わせて計ることは小学生でも可能です。

だいたい31cmの長さになります。直径の約3.1倍で、どんな大きさの円も同じになり、これを円周率といいます。円周率を詳しく調べると、3.14159…と続く、循環しない無限小数（無理数）であることがわかっています（この円周率のことを数学ではπで表します）。円の面積を求める公式は小学校高学年で学びます。半径をrとすると、円の面積Sは、r×r×3.14で求められます。

S＝r×r×3.14またはS＝πr²となります。

【図A】では、5×5×3.14＝78. 5で面積は78.5cm²です。

大人なら、ほとんどの人は暗記している公式ではないでしょうか。しかし、どうして「半径×半径× 3.14」で円の面積を求めることができるのか、それを説明するのはかなり大変です。本格的に理解しようと思ったら「微分積分」を活用することになるからです。

ここでは円を等分していく方法を紹介しましょう。

【図B】の①から③のように8等分、16等分、32等分としていくと④のような長方形に近づいていきます。最初の①の円と④の長方形ABCDの面積は同じになります。

ABは半径で5cmです。BC＋ADは円周（10×3.14＝31.4cm)です。BCは31.4の半分の15.7となります。これは(10×3.14)÷2＝5×3.14＝15.7 と考えることができます。5は半径です。これをrとすると、 AB×BC＝r×r×3.14＝3.14r²となります (AB＝r、BC＝r×3.14)。

円を8等分、16等分、32等分…と細かく分けていくと、最終的にはタテが半径、ヨコが半径×3.14倍の長方形に近づいていきます！

【POINT】
円なのに長方形にして面積を考える発想が大切です。円の面積の公式だけを暗記するのではなく、公式を求める過程を理解することによって、柔軟な考えが身につきます。

【出典】『眠れなくなるほど面白い 図解 大人のための算数と数学』監修：小宮山 博仁