タワー表記で広がる無限の数！「2↑↑↑3」ってどれくらい？【眠れなくなるほど面白い 図解 大人のための算数と数学】

非常に大きな数の世界

想像を絶する大きな数字は存在しています！

巨大数とは、日常生活において使用される数よりも巨大な数（実数）のことをいいます。想像を超える非常に大きな数は、数学、天文学、宇宙論、暗号理論、コンピューターなどの分野で耳にすることが多いものです。よく天文学的数字と呼ばれることがあります。天文学的数字を大きく上回る数を研究する学問として、巨大数論(googology)というものがあります。天文学的数字も巨大数と呼ばれていますが、この巨大数論では、特殊な記号を使用することにより、非常に大きな数を表現することが可能となります。ちなみに、巨大数に対して、0ではないが0に限りなく近い正の実数のことを微小数と呼んでいます。

ここで、よく耳にする数の単位について紹介してみましょう。

1,000,000はいくつでしょうか。100万ですね。数の単位には一、十、百、千、万、億、兆…があります。兆を超える単位の数字はあまり見かけませんが、数字の単位にはまだ先があります。江戸時代の数学書には、兆の上の大きな単位には京（けい）、垓（がい）、杼（じょ）、穣（じょう）、溝（こう）、澗（かん）、正（せい）、載（さい）、極（ごく）、恒河沙（ごうかしゃ）、阿僧衹（あそうぎ）、那由他（なゆた）、不可思議（ふかしぎ）、無量大数（むりょうたいすう）が紹介されています。1無量大数は69桁の数字で、1の後に0が68個も並ぶ大きな数字になります。

数にはいつも目にする「35」や「2019」のような通常の表記の方法があります。また数学で習う「5²」や「7³」のような「指数表記」があります。それ以外に、非常に大きな数の計算を意昧する「タワー表記」という表記方法があるのです。「↑」という記号を使います。この記号の意昧は「a ↑b」ならaのb乗、すなわちa^bという意昧です。

「2↑2」は2の2乗ですから2×2となります。すなわち「2↑2＝4」となります。

では「2↑↑2」はどうなるでしょうか。2の2乗の答えの回数分2をかけるという意昧となります。2の2乗は4です。2の4乗は2×2×2×2で16となります。「2↑↑2」でしたら、16というようなそれほど大きな数にはなりませんが、これが [3↑↑3」となっただけで、3の27乗ということになり、7兆6255億9748万4987となります。[3↑↑↑3」となったら、もうどれだけの数になるか想像できないほどの大きな数になってしまいます。

「！」という数学で使う記号があります。これは「階乗」と読みます。4 !＝4×3×2×1 3 !＝3×2×1 という意味です。

情報量の単位は
ビット（bit）
⇒バイト(Byte)
⇒キロバイト (KB)
⇒メガバイト (MB)
⇒ギガバイト(GB)
⇒TB（テラバイト）
⇒ペタバイト(PB)
⇒エクサ(Exa)
⇒ゼタ(Zetta)
…と大きくなります

【出典】『眠れなくなるほど面白い 図解 大人のための算数と数学』監修：小宮山 博仁