演奏会での順番を決めるには？

3人の演奏順は何通り？

3人の奏者によるピアノの演奏会があります。このとき、3人が演奏する順番は全部で何通りあるでしょう?
3人の演奏者をそれぞれA、B、Cとすると、「ABC」「ACB」「BAC」「BCA」「CAB」「CBA」の6通りあります。下の図のような樹形図にするとわかりやすいです。

階乗で求めてみよう

このように、樹形図でもれなく数えることもできますが、もっと簡単に計算で求める方法を考えてみましょう。
A、B、Cの3人の場合、最初に演奏するのは、3人のうちの誰でもよいので３通りです。次に演奏するのは、最初に演奏した人以外の2人のうちのどちらかなので2通りになります。最後に演奏するのは、残った1人だけなので1通りしかありません。
したがって、次のかけ算で３人が順番に演奏する場合の数を求めることができます。
3通り×2通り×1通り＝6通り

このかけ算は、階段を下っていくように、１ずつ少ない数をかけ合わせていくことから「階乗」と呼ばれています。そして、階乗は数字のうしろに「！」マークをつけて表します。異なるn個のものを順番に並べるときの並べ方は「n!」通りと表記されるのです。
たとえば演奏者が5人なら、その演奏順は5!＝5×4×3×2×1＝120通りです。

出典：『マンガでわかる　図解　眠れなくなるほど面白い　確率の話』